主要参考教材: 数学分析, 南开大学数学科学学院.
预备知识
笔记
记号约定
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x0 的 δ 领域 (x0−δ,x0+δ) 记为 Bδ(x0).
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去心领域 B˚δ(x0):=(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ).
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复合函数: f∘g:=f(g(x)).
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差集: x∈A∖B 当且仅当 x∈A 但 x∈/B.
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对称差: A△B:=(A∖B)∪(B∖A).
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符号函数: sgn x=⎩⎨⎧−1,x<00,x=01,x>0. 也即 sgn x=∣x∣x.
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特征函数: χA(x)={1,x∈A0,x∈/A. 如 sgn x=χR−(x)−χR+(x).
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Dirichlet 函数: D(x)=χQ(x)={1,x∈Q0,x∈/Q. 是周期函数, 但没有最小正周期; 偶函数; 无法画出函数图像.
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Riemann 函数: R(x):=⎩⎨⎧q1, 当x=qp, 其中p,q是互素的整数,且q>00,x∈/Q. 是周期函数, 最小正周期为 1. Riemann 函数常用以举反例. 另外, D(x)=sgn(R(x)).
稠密性
主要按以下两种方式理解:
(1) ∀a,b∈R, 如果 a<b, 则必定 ∃r∈Q, 使得 a<r<b.
(2) ∀a,ε∈R, ε>0, 必定 ∃r∈Q, 使得 ∣a−r∣<ε.
集合有界性质
- S 无上界的充分必要条件是: ∀M∈R, ∃x0∈S, 使得 x0>M.
- S 无下界的充分必要条件是: ∀m∈R, ∃x0∈S, 使得 x0<m.
- S 是无界集的充分必要条件是: ∀M∈R, ∃x0∈S, 使得 ∣x0∣>M.
映射
- 单射: 设 f(x) 在 X 上有定义. 若 ∀x1,x2∈X, f(x1)=f(x2), 则称 f 是一个单射.
- 满射: 设 f:A→B, 若 ∀b∈B, ∃a∈A, 使得 f(a)=b, 则称 f 是一个满射.
- 一一映射/双射: 既是单射又是满射.
函数复合的结合律
- f∘g∘h=(f∘g)∘h=f∘(g∘h).
三角函数和反三角函数:
- secx:=cosx1, cotx:=tanx1, cscx:=sinx1.
- 万能公式: sinx=1+tan22x2tanx, cosx=1+tan22x1−tan22x, tanx=1−tan22x2tanx.
- 积化和差:
cosxcosy=21[cos(x+y)+cos(x−y)]
sinxsiny=−21[cos(x+y)−cos(x−y)]
sinxcosy=21[sin(x+y)+sin(x−y)]
sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β
sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β
cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β
cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
- 反三角函数: arcsinx+arccosx=2π,arctanx+arccotx=2π.
极坐标曲线方程
- r=x2+y2, {x=rcosθy=rsinθ
- 对数螺线: r=aekθ, a,k>0;
- 心脏线: r=a(1+cosθ), a>0;
- 三叶玫瑰线: r=asin3θ, a>0.
习题
1.(NKU p.20 1.A. T1)
证明∀ai∈R, ∣a1∣−i=2∑n∣ai∣≤∣∣∣∣∣i=1∑nai∣∣∣∣∣≤i=1∑n∣ai∣.
证明:
(1) 由 aiaj≤∣ai∣∣aj∣ 可以得到
\displaystyle{\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right|}^2=\sum^{n}_{i=1}a_{i}^{2}+2\sum_{1\le i \le j\le n}{a_{i}a_{j}} \le \sum^{n}_{i=1}a_{i}^{2}+2\sum_{1\le i \le j\le n}{|a_{i}||a_{j}|}=\sum_{i=1}^n{|a_{i}|}$$.
(2) 由$-\left|a_{1}\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right| \le a_{1}\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}$可以得到
$$\left(\displaystyle|a_{1}|-\sum_{i=2}^{n}{|a_{i}|}\right)^{2}=a_{1}^2-2|a_{1}|\left|\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right|+\left(\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right)^{2} \le a_{1}^2 +2a_{1}\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}+\left(\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right)^{2}=\left|\displaystyle\sum^n_{i=1}a_{i}\right|^2
综上所述, ∀ai∈R, ∣a1∣−i=2∑n∣ai∣≤∣∣∣∣∣i=1∑nai∣∣∣∣∣≤i=1∑n∣ai∣.
关于绝对值的处理
i. 可利用绝对值不等式: ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣.
ii. 通常利用取平方来消掉绝对值.
2.(NKU p.21 1.A. T2)
证明 ∀n∈Z+, (n)n≤n!≤(2n+1)n.
证明:
这里采用数学归纳法证明不等式左半部.
(1) n=1时, (1)1≤1!=1成立.
n≥2时, 设不等式在 n=k, k∈N∗ 时成立. 接下来证明n=k+1时, 不等式仍成立. 由
k(n−k+1)−n=(k−1)(n−k)≥0
可以得到 k(n−k+1)≥n=n⋅n. 因此
(n!)2=k=1∏nk(n−k+1)≥(n)2n
这也就证明了, 如果 (n)n≤n! 对 n=k 成立, 那么不等式对 n=k+1 也成立. 根据归纳原理可以断定, 该不等式对于任意 n∈Z+都成立.
(2) 由 (2n+1)2−k(n−k+1)=(n−2k+1)2≥0 可以得到
(n!)2=k=1∏nk(n−k+1)≤(2n+1)2n
综上所述, ∀n∈Z+, (n)n≤n!≤(2n+1)n.
阶乘的另一种表达
(n!)2=k=1∏nk(n−k+1)
3.(NKU p.21 1.A. T5)
令 X⊆R 是无穷集, 常数 a>0. 对任意 x1,x2∈X , x1=x2, ∣x1−x2∣≥a. 证明 X 是无界集。
提示
比较抽象的证明题可以先用日常语言理解.
∣x1−x2∣≥a, 这意味着 X 中任意两数之间的距离至少是 a.
X 是无界集, 这意味着 ∀M∈R, ∃x<M 或 >M. 为了得到证明, 不妨先设 X 是有界集, 反证这样的界不存在.
不妨考虑在 [−M,M] 上从左到右依次选取元素, 第一个元素取在 −M 处, 第二个元素至少要取在 −M+a 处, 第三个元素则至少要取在 −M+2a 处.
设区间 [−M,M] 内最多能容纳 n 个 X 中的元素, 最后一个元素至少在 −M+(n−1)a 处(最紧凑的放置). 解不等式 −M+(n−1)a≤M 有 n≤a2M+1. 这意味着, 区间 [−M,M] 内最多能容纳 ⌊a2M+1⌋ 个集合 X 中的元素. 既然区间内只能容纳有限个集合 X 中的元素, 那么 X 就不是无穷集, 与题设矛盾!于是知道这样的界不存在, 即 X 是个无界集.
证明:
这里采用反证法证明。
设 X 是有界集, 即 ∀x∈X, ∃M∈R, −M≤x≤M. 在无穷集 X 中截取序列
x1<x2<x3<⋯,x⌊a2M⌋+2
由 xi+1−xi≥a, 累加可知
x⌊a2M⌋+2−x1≥⌊a2M+1⌋a>2M, 与题设矛盾, 故假设不成立. 因此, X 是无界集.
4.(NKU p.21 1.A. T10)
证明函数 f(x)=x1cosx1 在任何形如 (0,a) 的开区间上都无界, 其中 a>0.
证明:
设 f(x) 在某个 (0,a) 上有界, 即存在 ∣f(x)∣≤M.
∀a>0, ∀n>⌈2πa1⌉, 2πn1∈(0,a). 而 f(2nπ1)=2nπ.
取 n=max{⌈2πa1⌉+1,⌈2πM⌉+1}, 则
∣∣∣∣f(2πn1)∣∣∣∣=2πn>M
与假设矛盾, 故 f(x) 在任何 (0,a) 上都无界得证.
注释
初学这里很难理解, 解释一下每一步怎么来.
为了证明函数在 (0,a) 上无界, 我们希望函数取值尽可能大. 为了方便, 保持 cosx1=1. 这也就是说, 我们关心形如 xn=2πn1 的点列, 其中 n∈Z.
根据题意, 这些点都必须落在 (0,a) 内. 我们解出条件是 n>⌈2πa1⌉.
什么时候函数值 2nπ>M? 自然是 n>⌈2πM⌉ 的时候.
最终我们知道, 对于任意的 a,M, 只要选取 n=max{⌈2πa1⌉+1,⌈2πM⌉+1} 就可以使函数值 ∣∣∣∣f(2πn1)∣∣∣∣=2πn>M.
5.(NKU p.21 1.A. T11)
设函数 y=f(x) 的定义域是 X, 值域是 Y, 函数 z=g(y) 的定义域是 Y, 值域是 Z. 证明函数 z=g(f(x)) 有反函数的充分必要条件是 f(x) 和 g(y) 都有反函数, 并证明在条件满足时有 (g∘f)−1=f−1∘g−1.
证明:
先证充分性:
若 z=g(f(x)) 有反函数, 那么 ∀z∈Z, ∃x 使得 z=g(f(x)).
6.(NKU p.22 1.A. T13)
若存在 x∗ 使得 f(x∗)=x∗, 则称 x∗ 是函数 f(x) 的一个不动点. 设 f(x) 在 R 上有定义, 证明: 若 f(f(x)) 存在唯一的不动点, 则 f(x) 也存在唯一的不动点.
7.(NKU p.22 1.A. T14)
设 f(x) 是 R 上的非负函数, 且 ∀x,y∈R, 有 2f(x)+f(y)≤f(2x+y). 证明 f(x) 恒为常数.
8.(NKU p.22 1.B. T1)
证明均值不等式: ∀a1,a2,⋯,an∈R+, 有
na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an
其中等号成立的充分必要条件是 a1=a2=⋯=an.
9.(NKU p.22 1.B. T2)
证明 Cauchy 不等式: ∀a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn∈R, 有
(i=1∑naibi)2≤(i=1∑nai2)(i=1∑nbi2)
并指出其取等的充分必要条件.
证明:
令 f(x):=i=1∑n(aix+bi)2, 显然恒有 f(x)≥0. 展开得到:
f(x)=(i=1∑nai)2x2+2(i=1∑naibi)x+(i=1∑nbi)2
这可以看作二次函数 f(x)=Ax2+Bx+C. 为使 f(x)≥0 恒成立, 则
Δ=B2−4AC=4(i=1∑naibi)2−4(i=1∑nai)2(i=1∑nbi)2≤0
化简即要证的(i=1∑naibi)2≤(i=1∑nai2)(i=1∑nbi2).
10.(NKU p.22 1.B T3)
证明 Minkowski 不等式: ∀a