主要参考教材: 数学分析, 南开大学数学科学学院.

预备知识

笔记

记号约定

• $x_{0}$ 的 $\delta$ 领域 $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ 记为 $B_\delta \left ( x_0 \right )$.

• 去心领域 $\mathring{B}_\delta \left ( x_0 \right ):=\left ( x_0-\delta,x_0 \right ) \cup \left ( x_0,x_0 +\delta\right )$.

• 复合函数: $f\circ g:=f(g(x))$.

• 差集: $x\in A\setminus B$ 当且仅当 $x\in A$ 但 $x\notin B$.

• 对称差: $A \bigtriangleup B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

• 符号函数: $\displaystyle\text{sgn }x=\left\{\begin{matrix}-1,x<0\\0,x=0\\1,x>0\end{matrix}\right.$. 也即 $\displaystyle\text{sgn }x=\frac{x}{|x|}$.

• 特征函数: $\displaystyle\chi _A(x)=\left\{\begin{matrix}1,x\in A\\0,x\notin A\end{matrix}\right.$. 如 $\text{sgn }x=\chi_{\mathbb{R}^-}(x)-\chi_{\mathbb{R}^+}(x)$.

• Dirichlet 函数: $D(x)=\chi_{\mathbb{Q}}(x)=\left\{\begin{matrix}1,x\in \mathbb{Q}\\0,x\notin \mathbb{Q}\end{matrix}\right.$. 是周期函数, 但没有最小正周期; 偶函数; 无法画出函数图像.

• Riemann 函数: $R(x):=\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{1}{q},~当x=\frac{p}{q}, ~其中p,q是互素的整数, 且q>0 \\0, x\notin \mathbb{Q}\end{matrix}\right.$. 是周期函数, 最小正周期为 $1$. Riemann 函数常用以举反例. 另外, $D(x)=\text{sgn}(R(x))$.

稠密性

主要按以下两种方式理解:
(1) $\forall a,b\in \mathbb{R}$, 如果 $a<b$, 则必定 $\exists r\in\mathbb{Q}$, 使得 $a<r<b$.
(2) $\forall a,\varepsilon \in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$, 必定 $\exists r\in\mathbb{Q}$, 使得 $|a-r|<\varepsilon$.

集合有界性质

• $S$ 无上界的充分必要条件是: $\forall M\in\mathbb{R},~\exists x_0\in S$, 使得 $x_{0}>M$.
• $S$ 无下界的充分必要条件是: $\forall m\in\mathbb{R},~\exists x_0\in S$, 使得 $x_{0}<m$.
• $S$ 是无界集的充分必要条件是: $\forall M\in\mathbb{R},~\exists x_0\in S$, 使得 $|x_{0}|>M$.

映射

• 单射: 设 $f(x)$ 在 $X$ 上有定义. 若 $\forall x_{1},x_{2}\in X$, $f(x_{1})\ne f(x_{2})$, 则称 $f$ 是一个单射.
• 满射: 设 $f:A\rightarrow B$, 若 $\forall b\in B,~\exists a\in A$, 使得 $f(a)=b$, 则称 $f$ 是一个满射.
• 一一映射/双射: 既是单射又是满射.

函数复合的结合律

• $f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.

三角函数和反三角函数:

• $\displaystyle\sec x:=\frac{1}{\cos x},~\cot x:=\frac{1}{\tan x},~\csc x:=\frac{1}{\sin x}$.
• 万能公式: $\displaystyle\sin x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2\frac{x}{2}},~\cos x=\frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}},~\tan x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2\frac{x}{2}}$.
• 积化和差:

$\cos x\cos y = \frac{1}{2}\left [ \cos(x+y)+\cos(x-y) \right ]$

$\sin x\sin y =-\frac{1}{2}\left [ \cos(x+y)-\cos(x-y) \right ]$

$\sin x\cos y = \frac{1}{2}\left [ \sin(x+y)+\sin(x-y) \right ]$

• 和差化积:

$\sin \alpha + \sin \beta =2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin \alpha - \sin \beta =2 \cos \frac{\alpha +\beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta =2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos \alpha -\cos\beta =-2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

• 反三角函数: $\displaystyle\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}, \arctan x+\text{arccot}x=\frac{\pi}{2}$.

极坐标曲线方程

• $\displaystyle r=\sqrt{ x^2+y^2 },~\left\{\begin{matrix}x=r\cos\theta \\y=r\sin\theta\end{matrix}\right.$
• 对数螺线: $r=a\text{e}^{k\theta},~a,k>0$;
• 心脏线: $r=a(1+\cos\theta),~a>0$;
• 三叶玫瑰线: $r=a\sin 3\theta,~a>0$.

习题

1.（NKU p.20 1.A. T1）

证明$\displaystyle\forall a_{i}\in \mathbb{R},~|a_{1}|-\sum_{i=2}^{n}{|a_{i}|}\le \left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right| \le \sum_{i=1}^n{|a_{i}|}$.

证明:
(1) 由 $a_{i}a_{j}\le |a_{i}||a_{j}|$ 可以得到

\displaystyle{\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right|}^2=\sum^{n}_{i=1}a_{i}^{2}+2\sum_{1\le i \le j\le n}{a_{i}a_{j}} \le \sum^{n}_{i=1}a_{i}^{2}+2\sum_{1\le i \le j\le n}{|a_{i}||a_{j}|}=\sum_{i=1}^n{|a_{i}|}$$. (2) 由$-\left|a_{1}\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right| \le a_{1}\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}$可以得到 $$\left(\displaystyle|a_{1}|-\sum_{i=2}^{n}{|a_{i}|}\right)^{2}=a_{1}^2-2|a_{1}|\left|\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right|+\left(\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right)^{2} \le a_{1}^2 +2a_{1}\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}+\left(\displaystyle\sum_{i=2}^na_{i}\right)^{2}=\left|\displaystyle\sum^n_{i=1}a_{i}\right|^2

综上所述, $\displaystyle\forall a_{i}\in \mathbb{R},~|a_{1}|-\sum_{i=2}^{n}{|a_{i}|}\le \left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right| \le \sum_{i=1}^n{|a_{i}|}$.

关于绝对值的处理
i. 可利用绝对值不等式: $\left||a|-|b|\right| \le |a\pm b|\le |a|+|b|$.
ii. 通常利用取平方来消掉绝对值.

2.（NKU p.21 1.A. T2）

证明 $\displaystyle \forall n\in \mathbb{Z_{+}},~ (\sqrt{ n })^{n}\le n!\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$.
证明:
这里采用数学归纳法证明不等式左半部.
(1) $n=1$时, $\displaystyle (\sqrt{ 1 })^{1}\le 1!=1$成立.
$n\ge 2$时, 设不等式在 $n=k,~k\in \mathbb{N}^{*}$ 时成立. 接下来证明$n=k+1$时, 不等式仍成立. 由

$k(n-k+1)-n=(k-1)(n-k)\ge 0$

可以得到 $k(n-k+1)\ge n=\sqrt{ n } \cdot \sqrt{ n }$. 因此

$\left ( n! \right )^2=\prod_{k=1}^{n} k(n-k+1)\ge \left ( \sqrt{n} \right )^{2n}$

这也就证明了, 如果 $(\sqrt{ n })^{n}\le n!$ 对 $n=k$ 成立, 那么不等式对 $n=k+1$ 也成立. 根据归纳原理可以断定, 该不等式对于任意 $n\in \mathbb{Z_{+}}$都成立.
(2) 由 $\displaystyle \left(\frac{n+1}{2}\right)^2-k(n-k+1) =(n-2k+1)^2\ge 0$ 可以得到

$\left ( n! \right )^2=\prod_{k=1}^{n} k(n-k+1)\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2n}$

综上所述, $\displaystyle \forall n\in \mathbb{Z_{+}},~ (\sqrt{ n })^{n}\le n!\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$.

阶乘的另一种表达

$\left ( n! \right )^2=\prod_{k=1}^{n} k(n-k+1)$

3.（NKU p.21 1.A. T5）

令 $X\subseteq \mathbb{R}$ 是无穷集, 常数 $a>0$. 对任意 $x_{1},x_{2}\in X$ , $x_{1}\ne x_{2}$, $\left|x_{1}-x_{2}\right|\ge a$. 证明 $X$ 是无界集。

提示
比较抽象的证明题可以先用日常语言理解.
$\left|x_{1}-x_{2}\right|\ge a$, 这意味着 $X$ 中任意两数之间的距离至少是 $a$.
$X$ 是无界集, 这意味着 $\forall M\in \mathbb{R}$, $\exists x< M$ 或 $>M$. 为了得到证明, 不妨先设 $X$ 是有界集, 反证这样的界不存在.
不妨考虑在 $\left[-M,M\right]$ 上从左到右依次选取元素, 第一个元素取在 $-M$ 处, 第二个元素至少要取在 $-M+a$ 处, 第三个元素则至少要取在 $-M+2a$ 处.
设区间 $\left[-M,M\right]$ 内最多能容纳 $n$ 个 $X$ 中的元素, 最后一个元素至少在 $-M+(n-1)a$ 处（最紧凑的放置）. 解不等式 $-M+(n-1)a\le M$ 有 $\displaystyle n\le \frac{2M}{a}+1$. 这意味着, 区间 $\left[-M,M\right]$ 内最多能容纳 $\displaystyle \left\lfloor \frac{2M}{a}+1\right\rfloor$ 个集合 $X$ 中的元素. 既然区间内只能容纳有限个集合 $X$ 中的元素, 那么 $X$ 就不是无穷集, 与题设矛盾！于是知道这样的界不存在, 即 $X$ 是个无界集.

证明:
这里采用反证法证明。
设 $X$ 是有界集, 即 $\forall x\in X,~\exists M \in \mathbb{R},~ -M\le x\le M$. 在无穷集 $X$ 中截取序列

$x_1 < x_2 < x_3 < \cdots, x_{\left\lfloor\frac{2M}{a}\right\rfloor+2}$

由 $x_{i+1}-x_{i}\ge a$, 累加可知

$x_{\left\lfloor\frac{2M}{a}\right\rfloor +2}-x_{1}\ge\displaystyle\left\lfloor\frac{2M}{a}+1\right\rfloor a>2M$, 与题设矛盾, 故假设不成立. 因此, $X$ 是无界集.

4.（NKU p.21 1.A. T10）

证明函数 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ 在任何形如 $(0,a)$ 的开区间上都无界, 其中 $a>0$.
证明:
设 $f(x)$ 在某个 $(0,a)$ 上有界, 即存在 $\left|f(x)\right|\le M$.
$\forall a>0,~ \forall n>\displaystyle\left\lceil \frac{1}{2\pi a} \right\rceil ,~\frac{1}{2\pi n}\in(0,a)$. 而 $f\left(\displaystyle\frac{1}{2n\pi}\right)=2n\pi$.
取 $n=\max\left\{ \displaystyle \left \lceil \frac{1}{2\pi a} \right \rceil +1 , \left \lceil \frac{M}{2\pi} \right \rceil +1 \right\}$, 则

$\left|f\left(\frac{1}{2\pi n}\right)\right|=2\pi n>M$

与假设矛盾, 故 $f(x)$ 在任何 $(0,a)$ 上都无界得证.

注释
初学这里很难理解, 解释一下每一步怎么来.
为了证明函数在 $(0,a)$ 上无界, 我们希望函数取值尽可能大. 为了方便, 保持 $\displaystyle\cos \frac{1}{x}=1$. 这也就是说, 我们关心形如 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2\pi n}$ 的点列, 其中 $n\in\mathbb{Z}$.
根据题意, 这些点都必须落在 $(0,a)$ 内. 我们解出条件是 $n>\displaystyle\left\lceil \frac{1}{2\pi a} \right\rceil$.
什么时候函数值 $2n\pi>M$? 自然是 $\displaystyle n>\left \lceil \frac{M}{2\pi} \right \rceil$ 的时候.
最终我们知道, 对于任意的 $a,M$, 只要选取 $n=\max\left\{ \displaystyle \left \lceil \frac{1}{2\pi a} \right \rceil +1 , \left \lceil \frac{M}{2\pi} \right \rceil +1 \right\}$ 就可以使函数值 $\displaystyle\left|f\left(\frac{1}{2\pi n}\right)\right|=2\pi n>M$.

5.（NKU p.21 1.A. T11）

设函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $X$, 值域是 $Y$, 函数 $z=g(y)$ 的定义域是 $Y$, 值域是 $Z$. 证明函数 $z=g(f(x))$ 有反函数的充分必要条件是 $f(x)$ 和 $g(y)$ 都有反函数, 并证明在条件满足时有 $\left ( g\circ f \right ) ^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.
证明:
先证充分性:
若 $z=g(f(x))$ 有反函数, 那么 $\forall z\in Z,~\exists x$ 使得 $z=g(f(x))$.

6.（NKU p.22 1.A. T13)

若存在 $x^{*}$ 使得 $f(x^{*})=x^{*}$, 则称 $x^{*}$ 是函数 $f(x)$ 的一个不动点. 设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有定义, 证明: 若 $f(f(x))$ 存在唯一的不动点, 则 $f(x)$ 也存在唯一的不动点.

7.（NKU p.22 1.A. T14）

设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非负函数, 且 $\forall x,y\in \mathbb{R}$, 有 $\displaystyle\frac{f(x)+f(y)}{2}\le f\left(\frac{x+y}{2}\right)$. 证明 $f(x)$ 恒为常数.

8.（NKU p.22 1.B. T1）

证明均值不等式: $\forall a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}^+$, 有

$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{ a_{1}a_{2}\cdots a_{n} }$

其中等号成立的充分必要条件是 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$.

9.（NKU p.22 1.B. T2）

证明 Cauchy 不等式: $\forall a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\in\mathbb{R}$, 有

$\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2\right)$

并指出其取等的充分必要条件.
证明:
令 $\displaystyle f(x):=\sum_{i=1}^{n}{\left( a_ix+b_i \right)^2}$, 显然恒有 $f(x)\ge 0$. 展开得到:

$f(x)=\left( \sum_{i=1}^{n}{a_i} \right)^2 x^2+2\left( \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} \right)x+\left( \sum_{i=1}^{n}{b_i} \right)^2$

这可以看作二次函数 $f(x)=Ax^2+Bx+C$. 为使 $f(x)\ge 0$ 恒成立, 则

$\Delta=B^2-4AC=4\left( \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} \right)^2-4\left( \sum_{i=1}^{n}{a_i} \right)^2\left( \sum_{i=1}^{n}{b_i} \right)^2\leq 0$

化简即要证的$\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^2\le\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_{i}^2\right)$.

10.（NKU p.22 1.B T3）

证明 Minkowski 不等式: $\forall a$